Análisis en el espacio euclidiano
A continuación iré incluyendo ejercicios resueltos del libro Curso de análise, volume 2, de Elon Lages Lima. La numeración corresponde a la que aparece en la nona ediçao (2006) del mencionado texto
§1. O espaço vetorial $\mathbb{R}^n$
| 1.1. Mostre que as operações usuais de suma de aplicações e produto de uma aplicação por um número real fazen do conjunto $\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ um espaço vetorial. Analogamente para o conjunto $M(n\times m)$. Mostre que as bijeções estabelecidas no texto entre esses conjuntos e $\mathbb{R^{nm}}$ são isomorfismos entre espaços vetoriais. Exiba explicitamente bases para os espaços $\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ e $M(n\times m)$. Solución |
| 1.2. Seja $E=\mathscr{L}(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^p)$ o conjunto das aplicações bilineares $\varphi\colon\mathbb{R^m}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$. Mostre que as operações usuais fazem de $E$ um espaço vetorial de dimensão $mnp$. Solución |
| 1.3. Seja $E$ o espaço vetorial das funções bilineares $\varphi\colon\mathbb{R^n}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. Estabeleça um isomorfismo entre $E$ e o espaço vetorial $M(n\times n)$ das matrizes reais $n\times n$. Defina função bilinear simétrica e mostre que tal isomorfismo leva funções bilineares simétricas em matrizes simétricas. Mostre que a matriz correspondente a função bilinear $\varphi$ é invertível se, e somente se, $\varphi$ é não degenerada (isto é, $\varphi(x,y)=0$ para todo $y\in\mathbb{R^n}$ $\Rightarrow$ $x=0$). Solución |
| 1.4. Seja $E\subset\mathbb{R}^n$ um subespaço vetorial de dimensão $m$. Prove que existem $n-m$ funcionais lineares $f_1,f_2,\ldots,f_{n-m}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tais que $E=\{x\in\mathbb{R}^n\colon f_1(x)=f_2(x)=\ldots=f_{n-m}(x)=0\}$. Conclua que existe uma aplicação linear sobrejetiva $A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n-m}$ tal que $E=A^{-1}(0)$. Solución |
§2. Produto interno e norma
| 2.1. Para todo funcional linear $f\in(\mathbb{R}^n)^*$ existe un único vector $y\in\mathbb{R}^n$ tal que $f(x)=\left\langle{y,x}\right\rangle$ qualquer que seja $x\in\mathbb{R}^n$. Solución |
| 2.2. Um conjunto $\{u_1,\ldots,u_r\}\subset\mathbb{R}^n$ diz-se ortonormal cuando $\left\langle{u_j,u_j}\right\rangle=1$ e $\left\langle{u_i,u_j}\right\rangle=0$ para $i\neq j$ quaisquer. Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal. Se $\{u_1,\ldots,u_n\}$ é uma base ortonormal então $x=\sum_{i=1}^n \left\langle{x,u_i}\right\rangle u_i $ para todo $x\in\mathbb{R}^n$. Solución |
| 2.3. Considere em $\mathbb{R}^m$ e em $\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana. Dada una aplicação linear $A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$, existe uma única aplicação linear $A^*\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, chamada a transposta (ou adjunta) de $A$, tal que $\left\langle{Ax,y}\right\rangle=\left\langle{x,A^*y}\right\rangle$ para quaisquer $x\in\mathbb{R}^m$, $y\in\mathbb{R}^n$. Dado $b\in\mathbb{R}^n$, a equação $Ax=b$ possui solução $x\in\mathbb{R}^m$ se, e somente se, $b$ é ortogonal a todo elemento do núcleo de $A^*$. Conclua que a imagen de $A^*$ e a imagem de $A$ têm a mesma dimensão. Solución |
| 2.4. Uma aplicação linear $A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ diz-se simétrica cuando $A=A^*$. Prove que o conjunto $S$ das aplicaçãoes lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão $n(n+1)/2$ em $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$. Quando $A^*=-A$, diz-se que $A$ é anti-simétrica. Prove que o conjunto $T$ das aplicações lineares anti-simétricas é um subespaço vetorial de dimensão $n(n-1)/2$ em $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$ e que toda aplicação linear $A$ se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica, isto é $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)=S\oplus T$. Solución |
2.5. Considere em $\mathbb{R}^m$ e $\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana. As seguintes afirmaçãoes a respeito de uma aplicação linear $A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ são equivalentes:
|
| 2.6. Se $A$ é ortogonal então $\operatorname{det} A=\pm 1$. Solución |
| 2.7. Dados os números reais $a,b,c$, a fin de que exista em $\mathbb{R^2}$ um produto interno tal que $\left\langle{e_1,e_1}\right\rangle=a$, $\left\langle{e_1,e_2}\right\rangle=\left\langle{e_2,e_1}\right\rangle=b$ e $\left\langle{e_2,e_2}\right\rangle=c$, é necessário e suficiente que $a>0$ e $ac>b^2$. Solución |
| 2.8. Existe em $\mathbb{R}^3$ um produto interno tal que $\left\langle{e_1,e_1}\right\rangle=2$, $\left\langle{e_2,e_2}\right\rangle=3$, $\left\langle{e_3,e_3}\right\rangle=4$, $\left\langle{e_1,e_2}\right\rangle=0$ e $\left\langle{e_2,e_3}\right\rangle=\left\langle{e_1,e_3}\right\rangle=1$. Solución |
| 2.9. Se $c\in[a,b]$ então $|b-a|=|b-c|+|c-a|$. Se a norma provém de um produto interno, vale a recíproca. Para uma norma arbitrária pode-se ter a igualdade acima com $c\notin [a,b]$. Solución |
| 2.10. Se a norma provém de um produto interno e $a\neq b$ em $\mathbb{R}^n$ são tais que $|a|\leq r$ e $|b|\leq r$ então $|(1-t)a+tb| < r $ para todo $t\in(0,1)$. (Ou seja, a esfera não contém segmentos de reta). Solución |
| 2.11. Sea $C\subseteq\mathbb{R}^n$ um conjunto convexo. Fixado $p\in\mathbb{R}^n$, seja $\varphi\colon C\to\mathbb{R}$ a funcão definida por $\varphi(x)=\|x-p\|=\sqrt{\left\langle{x-p,x-p}\right\rangle}$. Existe no máximo um ponto $a\in C$ tal que $\varphi(a)=\inf\{\varphi(x)\colon x\in C\}$. Solución |
| 2.12. Fixe números reais $\alpha$, $\beta$ con $\alpha<\beta$ e, para cada $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ponha $\|x\|=\sup\limits_{\alpha\leq t\leq\beta}\left|x_1+x_2t+\cdots+x_nt^{n-1}\right|$. Prove que isto define uma norma em $\mathbb{R}^n$, a qual não provém de um produto interno. Solución |
| 2.13. Dado um subconjunto $X\subseteq\mathbb{R}^n$, su complemento ortogonal é o conjunto $X^\perp=\{y\in\mathbb{R^n}: \ \left\langle{x,y}\right\rangle=0 \text{ para todo }x\in X \}$. $X^\perp$ é um subespaço vetorial de $\mathbb{R^n}$. Se $E\subseteq\mathbb{R}^n$ é um subespaço vetorial então $E^{\perp\perp}=E$. Solución |
| 2.14. Sejam $E\subseteq\mathbb{R}^n$ un subespaço vetorial, $(e_1,\ldots,e_)$ uma base ortonormal de $E$ e $a\in\mathbb{R}^n$ um vetor arbitrario. Pondo $a_0=\left\langle{a,e_1}\right\rangle e_1+\ldots+\left\langle{a,e_k}\right\rangle e_k$, o vetor $a-a_0$ é perpendicular a todos os vetores de $E$, e $|a-a_0|\leq |a-y|$ para todo $y\in E$. A função $\varphi\colon E\to\mathbb{R}$, definida por $\varphi(y)=|a-y|$, atinge seu valor mínimo num único ponto de $E$, a saber, o ponto $a_0$. Daí resulta que $a_0$ depende apenas de $a$, mas não da base ortonormal escolhida em $E$. A aplicação $\pi\colon\mathbb{R}^n\to E$, dada por $\pi(a)=a_0$, é linear, seu núcleo é $E^\perp$ e todo vector $z\in\mathbb{R}^n$ se escreve, de modo único, como $z=x+y$, com $x\in E$ e $y\in E^\perp$, logo $\mathbb{R}^n=E\oplus E^\perp$. Solución |
2.15. Prove que as seguintes afirmações a respeito de uma aplicação linear $A\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ são equivalentes:
|
| 2.16. A fim de que $A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ seja uma semelhança, é necessário e suficiente que exista $\alpha>0$ tal que $(1/\alpha)A$ seja ortogonal. Solución |
§3. Números complexos
| 3.1. O conjunto das matrizes reais $2\times 2$ de la forma $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{bmatrix}$ constitui um corpo, que é isomorfo ao corpo $\mathbb{C}$ de los números complexos. Solución |
| 3.2. Dados $z,w\in\mathbb{C}-\{0\}$, tem-se $\sphericalangle (w,z)=\sphericalangle\left(\dfrac{1}{z},\dfrac{1}{w}\right)$. Solución |
| 3.3. Dados $a=re^{it}\in\mathbb{C}-\{0\}$ y $n\in\mathbb{N}$, la equação $z^n-a=0$ possui exatamente $n$ raíces, que são os números complexos \begin{equation*} z_j=\sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{t+2\pi j}{n}+i\sin\dfrac{t+2\pi j}{n}\right) \end{equation*} $j=0,1,\ldots,n-1$. Solución |
| 3.4. As seguintes afirmações respeito de uma aplicação linear $A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ são equivalentes: (i) $A$ es una semelhança e $\det A>0$; (ii) Existe um número complexo $w\neq 0$ tal que $A\cdot z=w\cdot z$ (multiplicação complexa) para todo $z\in\mathbb{R}^2$. Solución |
§4. Bolas e conjuntos limitados
| 4.1. Qualquer que seja a norma adotada em $\mathbb{R}^n$ ($n>1$), a esfera unitaria $S=\{x\in\mathbb{R}^n:\ \|{x}\|=1\}$ é um conjunto infinito. Solución |
| 4.2. Dados $x\in S[a;r]$ y $\varepsilon>0$, pruebe que existen $y\in B(a;r)$ y $z\notin B[a;r]$ tales que $\|{y-x}\|<\varepsilon$ y $\|{z-x}\|<\varepsilon$. Solución |
| 4.3. Si $X\subset\mathbb{R}^n$ e $Y\subset\mathbb{R}^n$ são conjuntos convexos então seu produto cartesiano $X\times Y\subset\mathbb{R}^{m+n}$ é convexo. Solución |
| 4.4. A interseção de uma família arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo. Solución |
| 4.5. Dados $X,Y\subset\mathbb{R}^n$, seja $X*Y$ la reunião de todos os segmentos de recta $[x,y]$, onde $x$ varia em $X$ y $y$ em $Y$. Si $X$ e $Y$ são convexos entonces $X*Y$ é convexo. Solución |
| 4.6. Dados $X\subset\mathbb{R}^n$ y $\varepsilon>0$, sea $B(X;\varepsilon)$ a reunião das bolas $B(x;\varepsilon)$ con $x\in X$. Si $X$ é convexo então $B(X;\varepsilon)$ é convexo. Solución |
| 4.7. Dado $X\subset\mathbb{R}^n$, la envoltura convexa de $X$ é a interseção $C(X)$ de todos os subconjuntos convexos de $\mathbb{R}^n$ que contêm $X$. Prove que $C(X)$ é o conjunto de todas as combinações lineares $\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_kx_k$ tais que $x_1,\ldots,x_k\in X$, $\alpha_1\geq 0, \ldots ,\alpha_k\geq 0$ e $\alpha_1+\cdots+\alpha_k=1$. Solución |
§5. Seqüências no espaço euclidiano
| 5.1. Se existirem seqüências de pontos $x_k,y_k\in\mathbb{R}^n$ con $\lim x_k=a$, $\lim y_k=b$ y $\|{y_k-a}\|< r <\|{x_k-b}\|$ para todo $k\in\mathbb{N}$ entonces $\|{a-b}\|=r$. Solución |
5.2. As seguintes afirmações a respeito de uma seqüência $(x_k)$ de ponto de $\mathbb{R}^n$ são equivalentes:
|
| 5.3. Se $b\in B(a;r)\subset\mathbb{R}^n$ e $\lim x_k=b$ então existe $k_0\in\mathbb{N}$ tal que $k>k_0$ $\Rightarrow$ $x_k\in B(a;r)$. Solución |
| 5.4. Defina convergência e convergência absoluta (ou normal) de uma série $\sum x_k$ cujos termos $x_k=(x_{k1},\ldots,x_{kn})$ pertecem a $\mathbb{R}^n$. Prove que a série $\sum x_k$ converge (resp. converge absolutamente) se, e somente se, para cada $i=1,\ldots,n$, a série $\sum\limits_{k}x_{ki}$ converge (resp. converge absolutamente). Conclua que toda série absolutamente convergente em $\mathbb{R}^n$ é convergente. Solución |
| 5.5. Prove que $\lim x_k=a$ em $\mathbb{R}^n$ se, e somente se, $\lim \left\langle{x_k,y}\right\rangle=\left\langle{a,y}\right\rangle$ para todo $y\in\mathbb{R}^n$. Solución |
| 5.6. Dada uma seqüência de aplicações lineares $A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ suponha que, para todo $x\in\mathbb{R}^m$, exista $Ax=\lim\limits_{k\to\infty}A_kx$. Prove que a aplicação $A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$, asim definida, é linear, que $\lim\limits_{k\to\infty}A_k=A$ relativamente a qualquer norma em $\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ e que a convergência $A_kx\to Ax$ é uniforme em toda parte limitada de $\mathbb{R}^m$. Solución |
| 5.7. Para toda aplicação $X\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$, a série $\sum_{k=0}^\infty X^k/k!$ é absolutamente convergente. Indicando sua soma por $e^X$, tem-se $e^X\cdot e^Y=e^{X+Y}$ desde que $XY=YX$. Conclua que, para toda $X\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$, $e^X$ é invertível, com $(e^X)^{-1}=e^{-X}$. Solución |
| 5.8. Toda matriz $n\times n$ é límite de una seqüência de matrizes invertíveis $n\times n$. Solución |
§6. Pontos de acumulação
6.1. As seguintes afirmações a respeito de um ponto $a\in\mathbb{R}^n$ é um conjunto $X\subset\mathbb{R}^n$ são equivalentes:
|
| 6.2. Se nenhum ponto do conjunto $X$ é ponto de acumulação então se pode escolher, para cada ponto $x\in X$, uma bola aberta $B_x$, de centro $x$, de tal maneira que, para $x\neq y$ em $X$ se tenha $B_x\cap B_y=\emptyset$. Solución |
| 6.3. Todo conjunto discreto é enumerável. Noutras palavras: todo conjunto não-enumerável contém um ponto de acumulação. Solución |
§7. Aplicações contínuas
| 7.1. Seja $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ contínua. Dada uma seqüência de pontos $x_k\in X$ con $\lim x_k=a\in X$ y $\|{f(x_k)}\| \leq c$ para todo $k\in\mathbb{N}$ então $\|{f(a)}\| \leq c$. Solución |
| 7.2. Sejam $f,g\colon X\to\mathbb{R}^n$ contínuas no ponto $a\in X$. Se $f(a)\neq g(a)$ então existe uma bola $B$ de centro $a$ tal que $x,y\in B$ $\Rightarrow$ $f(x)\neq g(y)$. Solución |
| 7.3. Seja $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ contínua no ponto $a\in X$. Si $f(a)$ não pertence á bola fechada $B[b;r]\subset\mathbb{R}^n$ então existe $\delta>0$ tal que $x\in X$, $\|{x-a}\| < \delta$ $\Rightarrow$ $f(x)\notin B[b;r]$. Solución |
| 7.4. Seja $f\colon X\to\mathbb{R}$ continua no ponto $a\in X$. Si $f(a)>0$ então existe $\delta>0$ tal que $x\in X$, $\|{x-a}\| < \delta$ $\Rightarrow$ $f(x)>0$. Solución |
| 7.5 Seja $f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ contínua. Se $X\subset\mathbb{R}^m$ é limitado então $f(X)\subset\mathbb{R}^n$ é limitado. Solución |
| 7.6. Uma aplicação $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ chama-se localmente Lipschitziana quando, para todo $x\in X$, existe uma bola aberta $B$, de centro $x$, tal que $f|_{B\cap X}$ é Lipschitziana. Prove que la funçã $f\colon]0,1]\to\mathbb{R}$, dada por $f(x)=\sqrt{x}$, é localmente Lipschitziana. Mostre que a função $g\colon[0,1]\to\mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x}$, embora contínua, não é localmente Lipschitziana. Solución |
| 7.7. Se a aplicação linear $A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ é injectiva então existe $c>0$ tal que $\|{Ax}\| \geq c\|{x}\|$ para todo $x\in\mathbb{R}^m$. Solución |
| 7.8. Seja $B$ a bola aberta de centro na origem e raio $1$ em $\mathbb{R}^m$. La aplicação contínua $f\colon B\to\mathbb{R}^n$, definida por $f(x)=x/(1-\| x\| )$, não é uniformemente contínua. Solución |
| 7.9. Se $f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ é contínua então, para cada parte limitada $X\subseteq\mathbb{R}^m$, la restrição $f|_X$ é uniformemente contínua. Solución |
| 7.10. Sejan $I$, $J$ intervalos da reta com interseção não vazia. Se $f\colon I\cup J\to\mathbb{R}^n$ é tal que $f|_I$ y $f|_J$ são uniformemente contínuas então $f$ é uniformemente contínua. Solución |
| 7.11. Considerando as seqüências de pontos $z_k=(k,1/k)$ e $w_k=(k,0)$ em $\mathbb{R}^2$, prove que a aplicação $\varphi\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, dada por $\varphi(x,y)=xy$, não é uniformemente contínua. Use um argumento análogo para provar que uma aplicação bilinear $\varphi\colon\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ só é uniformemente contínua se for identicamente nula. Solución |
| 7.12. Sejan $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ e $a\in X$. Suponha que, para todo $\varepsilon>0$, exista $g\colon X\to\mathbb{R}^n$, contínua no ponto $a$, tal que $\|{f(x)-g(x)}\| < \varepsilon$ para todo $x\in X$. Então $f$ é contínua no ponto $a$. Solución |
| 7.13. Considere em $\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana. Dada una isometria $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, existem um vetor $b\in\mathbb{R}^n$ e uma transformação linear (necessariamente ortogonal) $A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tais que $f(x)=Ax+b$ para todo $x\in\mathbb{R}^n$. Solución |
| 7.14. Dada uma aplicaç,ão lineae $A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$, e fixadas normas em $\mathbb{R}^m$ y $\mathbb{R}^n$, a imagen por $A$ da esfera unitária $S=\{x\in\mathbb{R}^m:\ |{x}|=1\}$ é um conjunto limitado em $\mathbb{R}^n$. Pondo, para cada $A\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$, $|{A}|=\sup\{|{Ax}|;\ x\in S\}$, a função $A\mapsto |{A}|$ é uma norma no espaço vetorial $\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$, para a qual vale a desigualdade $|{Ax}|\leq |{A}||{x}|$ para todo $x\in\mathbb{R}^m$. Além disso, se $A\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ y $B\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^p)$ então, fixadas normas em $\mathbb{R}^m$, $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^p$, tem-se $|{BA}|\leq |{B}| |{A}|$. Solución |
§8. Homeomorfismos
| 8.1. O cone $C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon z\geq 0, \ x^2+y^2-z=0\}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}^2$. Solución |
| 8.2. Estabeleça um homeomorfismo entre $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ y $S^n\times\mathbb{R}$. Solución |
| 8.3. Para cada $c>0$, o hiperbolóide de revolução $H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon x^2+y^2-z^2=c\}$ é homeomorfo a $S^1\times\mathbb{R}$. Solución |
| 8.4. O cuadrante $P=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon x\geq 0,\ y\geq 0\}$ é homeomorfo ao semi-plano superior $S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y\geq 0\}$. Solución |
| 8.5. Os conjuntos $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y=0,\ 0< x < 1\}$ e $Y=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y=0\}$ são homeomorfos mas não existe um homeomorfismo $h\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ tal que $h(X)=Y$. Solución |
| 8.6. Estabeleça um homeomorfismo entre os conjuntos $X=\{x\in\mathbb{R}^n\colon 0 < \|{x}\| \leq 1\}$ (bola unitária fechada menos a origen) e $Y=\{y\in\mathbb{R}^n\colon \|{y}\| \geq 1\}$ (complementar da bola unitária aberta). Solución |
| 8.7. A "figura 8" é a reunião de dois círculos tangentes externamente em $\mathbb{R}^2$. Defina uma biyeção contínua de $\mathbb{R}$ sobre a figura $8$ e mostre que sua inversa é discontinua. Solución |
| 8.8. Um conjunto $X\subset\mathbb{R}^n$ chama-se topologicamente homogêneo quando, dados $a,b\in X$ quaisquer, existe um homeomorfismo $h\colon X\to X$ tal que $h(a)=b$. Prove que, para todo $n\in\mathbb{N}$, o espaço $\mathbb{R}^n$ e a esfera $S^n$ são topologicamente homogêneos. Por outro lado, o intervalo fechado $[0,1]$ não es topologicamente homogêneo. Solución |
| 8.9. Toda bola aberta em $\mathbb{R}^n$ é topologicamente homogênea. Solución |
| 8.10. Sejan $G$ um grupo multiplicativo de matrizes $n\times n$ y $H\subset G$ un subgrupo. Dadas duas classes laterais $aH$ y $bH$ (donde $a,b\in G$), mostre que existe un homeomorfismo $\varphi\colon G\to G$ tal que $\varphi(aH)=bH$. Solución |
| 8.11. La projecão estereográfica $\varphi\colon S^2\setminus\{p\}\to\mathbb{R}^2$ transforma os cír;culos em $S^2$ que passan pelo polo $p$ em retas de $\mathbb{R}^2$ e os círculos em $S^2$ que não contêm o polo em círculos de $\mathbb{R}^2$. Solución |
§9. Limites
| 9.1. Sejam $X\subseteq\mathbb{R}^m$ ilimitado, $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ uma aplicação e $a\in\mathbb{R}^n$. Diz-se que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a$ quando, para todo $\varepsilon >0$ dado, existe $r>0$ tal que $x\in X$, $|x|>r$ $\Rightarrow$ $|{f(x)-a}|<\varepsilon$. Prove que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a$ se, e somente se, para toda seqüencia de pontos $x_k\in X$ con $\lim\limits_{k\to\infty}|{x_k}|=\infty$, tem-se $\lim\limits_{k\to\infty}f(x_k)=a$. Solución |
| 9.2. Sejam $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ uma aplicação e $a$ um ponto de acumulação do conjunto $X\subset\mathbb{R}^m$. Diz-se que $\lim\limits_{x\to a} f(x)=\infty$ quando, para todo $r>0$, existe $\delta>0$ tal que $x\in X$, $0<|{x-a}|<\delta$ $\Rightarrow$ $|{f(x)}|>r$. Prove que $\lim\limits_{x\to a} f(x)=\infty$ se, e somente se, para toda seqüência de puntos $x_k\in X-\{a\}$, con $\lim x_k=a$, tem-se $\lim |{f(x_k)}|=\infty$. Solución |
| 9.3. Seja $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ definida num conjunto ilimitado $X\subseteq\mathbb{R}^m$. Defina o que se entiende por $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty$ e dê uma caracterização deste conceito por meio de seqüências. Solución |
| 9.4. Seja $p\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ un polinômio complexo não-constante. Mostre que $\lim\limits_{z\to\infty}p(z)=\infty$. Solución |
| 9.5. Seja $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por $f(x,y)=(x^2-y)y / x^4$ se $0 < y < x^2$ e $f(x,y)=0$ nos demais pontos. Prove que o límite de $f(x,y)$ é zero quando $(x,y)$ tende para $(0,0)$ ao longo de qualquer reta que passe pela origen mas não se tem $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=0$. Solución |
| 9.6. Seja $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ definida por $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ se $x^2+y^2\neq 0$ e $f(0,0)=0$. Mostre que $\lim\limits_{x\to 0}\left(\lim\limits_{y\to 0} f(x,y)\right)\neq\lim\limits_{y\to 0}\left(\lim\limits_{x\to 0} f(x,y)\right)$. Solución |
| 9.7. Seja $h\colon B\to\mathbb{R}^n$ o homeomorfismo da bola abierta de centro~$0$ e radio $1$ em $\mathbb{R}^n$ dado por $h(x)=\dfrac{x}{1- |x|}$. Fixado arbitrariamente $a\in\mathbb{R}^n$, seja $T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ a traslação $T(x)=x+a$. Considere o homeomorfismo $\varphi=h^{-1}Th \colon B\to B$. Prove que $\lim\limits_{x\to b}\varphi(x)=b$ para todo $b\in\partial B$. Conclua que, dados arbitrariamente $c,d\in B$ existe um homeomorfismo $\bar\varphi\colon\bar B\to\bar B$ tal que $\bar\varphi(c)=d$ y $\bar\varphi(x)=x$ para todo $x\in\partial B$. Solución |
§10. Conjuntos abertos
| 10.1. Um ponto $a\in X$ é aberto en $X$ se, e solamente se, é um ponto isolado de $X$. Conseqüentemente, um conjunto $X\subset\mathbb{R}^n$ é discreto se, e somente se, qualquer subconjunto $A\subseteq X$ é aberto em $X$. Solución |
| 10.2. Seja $h\colon X\to Y$ um homeomorfismo. Um conjunto $A\subseteq X$ ê aberto em $X$ se, e somente se, $h(A)$ ê aberto em $Y$. Solución |
| 10.3. Se $A\subseteq\mathbb{R}^n$ é aberto então sua fronteira $\partial A$ possui interior vazio. Dê exemplo de um conjunto $X\subseteq\mathbb{R}^n$ cuja fronteira $\partial X$ sea um conjunto aberto. Solución |
| 10.4. Para quaisquer $X,Y\subseteq\mathbb{R}^n$, tem-se $\operatorname{int}(X\cap Y)=\operatorname{int} X \cap \operatorname{int} Y$ e $\operatorname{int}(X\cup Y)\supseteq \operatorname{int} X\cup \operatorname{int} Y$. Dê um exemplo em que esta inclusão não se reduz a uma igualdade. Solución |
| 10.5. Uma aplicação $f\colon X\to Y$ é aberta se, e somente se, para toda bola aberta $B$ com centro num ponto de $X$, $f(B\cap X)$ é aberto em $Y$. Solución |
| 10.6. Sejan $X\subseteq\mathbb{R}^m$, $Y\subseteq\mathbb{R}^n$. Uma aplicação $f\colon X\to Y$ chama-se homeomorfismo local quando, para cada ponto $x\in X$, existe $A$ aberto em $X$, com $x\in A$, tal que $f|_A$ é um homeomorfismo de $A$ sobre um conjunto aberto em $Y$. (i) Prove que $\xi\colon\mathbb{R}\to S^1$, $\xi(t)=(\cos t,\sin t)$, é um homeomorfismo local; (ii) Prove que todo homeomorfismo local é uma aplicação aberta; (iii) Si $f\colon X\to Y$ é um homeomorfismo local então, para todo $y\in Y$, a imagen inversa $f^{-1}(y)$ é um conjunto discreto. Solución |
| 10.7. Seja $A\subseteq\mathbb{R}^n$ aberto, com $n\geq 2$. Dado $a\in\mathbb{R}^n\setminus A$, o conjunto $A\cup\{a\}$ é aberto se, e somente se, $a$ é ponto isolado da fronteira $\partial A$. Equivalentemente: existe uma bola $B=B(a;r)$ tal que $B\setminus\{a\}\subseteq A$. Solución |
| 10.8. Seja $E\subseteq\mathbb{R}^n$ um subespaço vetorial. Se $E\neq\mathbb{R}^n$ então $\operatorname{int}E=\emptyset$. Solución |
| 10.9. O conjunto das matrizes invertíveis $n\times n$ é aberto em $\mathbb{R}^{n^2}$. Solución |
| 10.10. Uma aplicação linear $A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ diz-se positiva quando é simétrica e, além disso, $\langle Ax,x\rangle>0$ para todo $x\neq 0$ en $\mathbb{R}^n$. O conjunto das aplicações lineares positivas é convexo e aberto no conjunto das aplicações simétricas. Solución |
| 10.11. Seja $G$ um grupo multiplicativo de matrizes $n\times n$. Se $\operatorname{int}(G)\neq\emptyset$ então $G$ é aberto em $\mathbb{R}^{n^2}$. Solución |
| 10.12. O conjunto das aplicações lineares injetivas &etilde; aberto em $\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$. Idem para as sobrejetivas. Solución |
| 10.14.Toda coleção de abertos não-vazios, dois a dois disjuntos, é enumerável. Solución |
§11. Conjuntos fechados
| 11.1. Se um aberto $A$ contém pontos do fecho de $X$ então $A$ contém pontos de $X$. Solución |
| 11.2. Dê exemplo de conjuntos $X,Y\subset\mathbb{R}^2$, tais que as projeções de $X$ sobre os eixos são subconjuntos abertos de $\mathbb{R}$, as de $Y$ são fechadas, mas nem $X$ é aberto em $\mathbb{R}^2$ nem $Y$ é fechado. Solución |
| 11.3. O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto $X\subseteq\mathbb{R}^n$ é fechado. Solución |
| 11.4. Quaisquer que sejam $X,Y\subseteq\mathbb{R}^n$, tem-se $\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}$ y $\overline{X\cap Y}\subseteq \overline{X}\cap \overline{Y}$. Pode ocorrer $\overline{X\cap Y}\neq \overline{X}\cap \overline{Y}$. Solución |
| 11.5. Um conjunto $A\subset\mathbb{R}^n$ é aberto se e somente se $A\cap\overline{X}\subset\overline{A\cap X}$ para todo $X\subset\mathbb{R}^n$. Solución |
| 11.6. Se $X\subseteq\mathbb{R}^m$ e $Y\subseteq\mathbb{R}^n$ então $\overline{X\times Y}=\overline{X}\times \overline{Y}$ em $\mathbb{R}^{m+n}$. Solución |
| 11.7. $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ é contínua se, e somente se, para todo conjunto $Y\subseteq X$, se tiene $f(X\cap\overline{Y})\subseteq\overline{f(Y)}$. Solución |
| 11.8. $A\subset\mathbb{R}^n$ é aberto se, e somente se, $A\cap\overline{\mathbb{R}^n-A}=\emptyset$. Solución |
| 11.9. Todo subespaço vetorial $E\subseteq\mathbb{R}^n$ é um conjunto fechado. Se $E\neq\mathbb{R}^n$ então $\overline{\mathbb{R}^n\setminus E}=\mathbb{R}^n$. Solución |
| 11.10. O fecho de um conjunto convexo é convexo. Solución |
| 11.11. Seja $A\subseteq\mathbb{R}^n$ aberto e convexo. Prove que $A=\operatorname{int}\overline{A}$. Dê exemplo de um conjunto aberto não convexo $A$ que seja um subconjunto própio de $\operatorname{int}\overline{A}$. Solución |
| 11.12. Seja $B(X;\varepsilon)$ a reunião das bolas abertas $B(x;\varepsilon)$ de raio $\varepsilon$ e centro em algum ponto $x\in X$. Prove que $\overline{X}=\bigcap\limits_{\varepsilon>0}B(X;\varepsilon)$. Solución |
| 11.13. Se $F\subseteq\mathbb{R}^n$ é fechado, ent´o sua fronteira $\partial F$ tem interior vazio. Solución |
| 11.14. Um conjunto $F\subseteq\mathbb{R}^n$ é fechado se, e somente se, $F\supseteq\partial F$. Solución |
| 11.15. Todo conjunto fechado $F\subseteq\mathbb{R}^n$ é fronteira de algum conjunto $X\subseteq\mathbb{R}^n$. Solución |
| 11.16. Sejam $F\subseteq X\subseteq Y$. Se $F$ é fechado em $X$ e $X$ é fechado em $Y$ então $F$ é fechado em $Y$. Solución |
| 11.17. Sejam $F$, $G$ fechados em $X=F\cup G$. Se $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ é tal que suas restrições $f|_{F}$ y $f|_{G}$ são contínuas então $f$ é contínua. Solución |
| 11.18. O conjunto das matrices invertíveis é denso em $\mathbb{R}^{n^2}$. Solución |
| 11.19. Sejam $G$ um grupo multiplicativo de matrizes $n\times n$ y $H$ un subgrupo de $G$. Mostre que se $H$ for aberto em $G$ então $H$ será también será fechado em $G$. (Sugerencia: considere las clases laterales de $H$ en $G$). Solución |
| 11.20. Um conjunto $X\subseteq\mathbb{R}^n$ tem interior vazio se, e somente se, seu complementar é denso em $\mathbb{R}^n$. Solución |
| 11.21. O conjunto das matrizes $n\times n$ com determinante $1$ é um fechado ilimitado com interior vazio em $\mathbb{R}^{n^2}$. Solución |
| 11.22. Se $A\subset X$ é aberto em $X$ e $D\subset X$ é denso em $X$ então $A\cap D$ es denso en $A$. Solución |
| 11.23. Dada uma seqüência de pontos $x_k\in\mathbb{R}^n$ ponhamos, para cada $k\in\mathbb{N}$, $X_k=\{x_k,x_{k+1},\ldots\}$. Prove que $\bigcap\limits_{k\in\mathbb{N}}\overline{X}_k$ é o conjunto dos valores de adherência da seqüência $(x_k)$ e conclua que tal conjunto é fechado. Solución |
| 11.24. (Teorema de Baire). Sejan $F_1, F_2, \ldots, F_i, \ldots $, conjuntos fechados com interior vazio em $\mathbb{R}^n$. Então $F=F_1\cup F_2\cup\ldots$ tem interior vazio. Conclua que se $A_1, A_2, \ldots, A_i, \ldots$ são abertos densos em $\mathbb{R}^n$ então $A=A_1\cap A_2\cap\ldots$ é denso em $\mathbb{R}^n$. Solución |
| 11.25. Todo conjunto fechado enumerável possui algum ponto isolado. Solución |
§12. Conjuntos compactos
| 12.1. O conjunto dos valores de adherência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não-vazio. Solución |
| 12.2. As matrizes ortogonais $n\times n$ formam um subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n^2}$. Solución |
| 12.3. Todo conjunto infinito $X\subset\mathbb{R}^n$ possui um subconjunto não-compacto. Solución |
| 12.4. A proposição (12.4) seria falsa se tomássemos conjuntos fechados $F_1\supset F_2\supset\cdots\supset F_i\supset \cdots$ en vez de compactos. Solución |
| 12.5. Seja $X\subseteq\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ um conjunto compacto que contém exatamente um ponto em cada semi-recta de origen $0$ em $\mathbb{R}^{n+1}$. Prove que $X$ é homeomorfo a esfera unitária $\mathbb{S}^n$. Solución |
| 12.6. Seja $X\subset\mathbb{R}^n$. Se todo conjunto homeomorfo a $X$ for limitado então $X$ é compacto. Solución |
| 12.7. Se todo conjunto $Y\subset\mathbb{R}^n$ homeomorfo a $X$ for fechado então $X$ é compacto. Solución |
| 12.9. Sejan $K,L\subset\mathbb{R}^n$ compactos. O conjunto $K*L$, reunião de todos os segmentos de recta $[x,y]$, com $x\in K$, $y\in L$, é compacto. Se $F\subset\mathbb{R}^n$ é apenas fechado e $a\in\mathbb{R}^n$ então $a*F$ pode não ser fechado. Solución |
| 12.10. Seja $C(X)$ a interseção de todos os subconjuntos convexos de $\mathbb{R}^n$ que contem $X\subset\mathbb{R}^n$. Se $X$ é compacto então $C(X)$ também é. Solución |
| 12.11. Seja $X\subset\mathbb{R}^m$. Uma aplicacão $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ chama-se localmente inyectiva quando para cada $x\in X$ existe uma bola $B$ de centro $x$ en $\mathbb{R}^m$ tal que $f|_{B\cap X}$ es inyectiva $\ldots$ Solución |
| 12.12. Sea $f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ contínua. As seguintes afirmações são equivalentes $\ldots$ Solución |
| 12.13. Seja $X\subseteq\mathbb{R}^m$. Uma aplicação limitada $\varphi\colon X\to\mathbb{R}^n$ é contínua se, e somente se, seu gráfico é um subconjunto fechado de $X\times\mathbb{R}^n$. Solución |
| 12.14. Sejam $K\subseteq\mathbb{R}^m$, $K\subseteq\mathbb{R}^n$ compacto, $f\colon X\times K\to\mathbb{R}^p$ contínua e $c\in\mathbb{R}^p$. Suponha que, para cada $x\in X$, exista um único $y\in K$ tal que $f(x,y)=c$. Prove que esse $y$ depende continuamente de $x$. Solución |
| 12.15. Seja $f\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a função contínua definida por $f(x,y)=(x^2+y^2)(1-xy)$. Para cada $x\in\mathbb{R}$ existe um único $y\in\mathbb{R}$ tal que $f(x,y)=0$, mas tal $y$ não depende continuamente de $x$. Solución |
| 12.16. Seja $f\colon\mathbb{R}\times[0,1[\to\mathbb{R}$ definida por $f(x,y)=\left(x^2+y^2\right)\left(1-ye^{|x|}\right)$. Para cada $x\in\mathbb{R}$, existe um único $y=\varphi(x)\in[0,1[$ tal que $f(x,y)=0$, mas a função $\varphi\colon\mathbb{R}\to[0,1[$, asim definida, não é contínua. Solución |
| 12.17. Seja $K\subseteq\mathbb{R}^n$ compacto. Prove que a projeção $\pi\colon\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, $\pi(x,y)=x$, transforma todo conjunto fechado $F\subseteq\mathbb{R}^m\times K$ num fechado $\pi(F)\subseteq\mathbb{R}^m$. Solución |
| 12.18. Sejam $K\subseteq\mathbb{R}^n$ compacto, $a\in\mathbb{R}^m$ y $U\subseteq\mathbb{R}^{m+n}$ um aberto tal que $a\times K\subseteq U$. Prove que existe uma bola $B\subseteq\mathbb{R}^m$, de centro $a$, tal que $B\times K\subseteq U$. Solución |
§13. Distância entre dois conjuntos; diâmetro
| 13.1. Se $U\subset\mathbb{R}^n$ é um aberto limitado, não existem $x_0,y_0\in U$ tais que $\|{x_0-y_0}\|=\operatorname{diam}(U)$. Solución |
| 13.2. Seja $B=B[a;r]\subset\mathbb{R}^n$. Para todo $x\in\mathbb{R}^n$, tem-se $d(x,B)=\max\{0,\|{x-a}\|-r\}$. Solución |
| 13.3. Seja $T=\mathbb{R}^n-B[a,r]$. Para todo $x\in\mathbb{R}^n$, tem-se $d(x,T)=\max\{0,r-\|{x-a}\|\}$. Solución |
| 13.4. $d(S,T)=\inf\limits_{x\in S} d(x,T)$. Solución |
| 13.5. A função de Urysohn de un par de cerrados disjuntos $F,G\subset\mathbb{R}^n$ é uniformemente contínua se, e somente se, $d(F,G)>0$. Solución |
| 13.6. Considerando em $\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana, sejam $F\subset\mathbb{R}^n$ um conjunto fechdo convexo, $a$ um ponto de $\mathbb{R}^n$ e $y_0\in F$ tal que $\|{a-y_0}\|=d(a,F)$. Mostre que, para todo $x\in F$ tem-se $\left\langle x-y_0,a-y_0\right\rangle \leq 0$. Solución |
§14. Conexidade
| 14.3. Seja $E\subset\mathbb{R}^n$ um subespaço vetorial própio. O complementar $\mathbb{R}^n- E$ é conexo se, e somente se, $\dim E\leq n-2$. Solución |
| 14.4. O conjunto das matrices invertíveis $n\times n$ é um aberto desconexo en $\mathbb{R}^{n^2}$. Tambén é desconexo (mas não aberto) o conjunto das matrizes ortogonais. Solución |
| 14.5. Se $X\subset\mathbb{R}^n$ e compacto então toda aplica&ccdeil;ão continua aberta $f\colon X\to S^n$ es sobrejetiva. Solución |
| 14.6. Seja $X\subset\mathbb{R}^m$. Uma aplicação $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ diz-se localmente constante quando para cada $x\in X$ existe uma bola $B$ de centro $x$ tal que $f|_{B\cap X}$ é constante. $X$ é conexo se, e somente se, toda aplicação localmente constante $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ é constante. Solución |
| 14.7. Toda aplicação contínua $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ cuja imagen $f(X)$ é um conjunto discreto é localmente constante. Solución |
| 14.8. Toda aplicação localmente constante $f\colon X\to\mathbb{R}^n$ tem imagen enumerávei. Solución |
| 14.9. Um conjunto conexo enumerável $X\subset\mathbb{R}^n$ possui no máximo um ponto. Solución |
| 14.15. Seja $B$ uma bola fechada na norma euclidiana. Para todo subconjunto $X\subset\partial B$, $B-X$ é convexo. Numa norma arbitrária, $B-X$ é conexo mas não necessariamente convexo. Solución |
§15. A norma de uma transformação linear
| 15.3. Dada $A\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$, supomos fixadas uma norma em $\mathbb{R}^m$, outra em $\mathbb{R}^n$, e pomos, como no texto, $\|{A}\|:=\sup\{|Ax|\colon |x| = 1 \}$. Prove que $ \| A\|=\inf\{c\in\mathbb{R}\colon | Ax | \leq c | x | \} $. Solución |
Poster Session
The duration of each poster presentation will be 08 minutes
| Doctor Octopus | Fila 1, Columna 2 | Fila 1, Columna 3 | Fila 1, Columna 4 |
| Doctor Strange | Fila 2, Columna 2 | Fila 2, Columna 3 | Fila 2, Columna 4 |
| Doctor Doom | Fila 3, Columna 2 | Fila 3, Columna 3 | Fila 3, Columna 4 |
| Doctor XYXY | Fila 4, Columna 2 | Fila 4, Columna 3 | Fila 4, Columna 4 |