Senda de gigantes

A continuación iré incluyendo ejercicios resueltos del libro Curso de análise, volume 2, de Elon Lages Lima. La numeración corresponde a la que aparece en la nona ediçao (2006) del mencionado texto

Capítulo I: Topologia do Espaço Euclidiano
1. O espaço vetorial $\mathbb{R}^n$	5. Seqüencias no espaço euclidiano	9. Limites	13. Distância entre dois conjuntos; diâmetro
2. Produto interno e norma	6. Pontos de acumulação	10. Conjuntos abertos	14. Conexidade
3. Números complexos	7. Aplicações contínuas	11. Conjuntos fechados	15. A norma de uma transformação linear
4. Bolas e conjuntos limitados	8. Homeomorfismos	12. Conjuntos compactos

1.1. Mostre que as operações usuais de suma de aplicações e produto de uma aplicação por um número real fazen do conjunto

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ um espaço vetorial. Analogamente para o conjunto

$M(n\times m)$ . Mostre que as bijeções estabelecidas no texto entre esses conjuntos e

$\mathbb{R^{nm}}$ são isomorfismos entre espaços vetoriais. Exiba explicitamente bases para os espaços

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ e

$M(n\times m)$ . Solución

1.2. Seja

$E=\mathscr{L}(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^p)$ o conjunto das aplicações bilineares

$\varphi\colon\mathbb{R^m}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ . Mostre que as operações usuais fazem de

$E$ um espaço vetorial de dimensão

$mnp$ . Solución

1.3. Seja

$E$ o espaço vetorial das funções bilineares

$\varphi\colon\mathbb{R^n}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ . Estabeleça um isomorfismo entre

$E$ e o espaço vetorial

$M(n\times n)$ das matrizes reais

$n\times n$ . Defina função bilinear simétrica e mostre que tal isomorfismo leva funções bilineares simétricas em matrizes simétricas. Mostre que a matriz correspondente a função bilinear

$\varphi$ é invertível se, e somente se,

$\varphi$ é não degenerada (isto é,

$\varphi(x,y)=0$ para todo

$y\in\mathbb{R^n}$

$\Rightarrow$

$x=0$ ). Solución

1.4. Seja

$E\subset\mathbb{R}^n$ um subespaço vetorial de dimensão

$m$ . Prove que existem

$n-m$ funcionais lineares

$f_1,f_2,\ldots,f_{n-m}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tais que

$E=\{x\in\mathbb{R}^n\colon f_1(x)=f_2(x)=\ldots=f_{n-m}(x)=0\}$ . Conclua que existe uma aplicação linear sobrejetiva

$A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n-m}$ tal que

$E=A^{-1}(0)$ . Solución

2.1. Para todo funcional linear

$f\in(\mathbb{R}^n)^*$ existe un único vector

$y\in\mathbb{R}^n$ tal que

$f(x)=\left\langle{y,x}\right\rangle$ qualquer que seja

$x\in\mathbb{R}^n$ . Solución

2.2. Um conjunto

$\{u_1,\ldots,u_r\}\subset\mathbb{R}^n$ diz-se ortonormal cuando

$\left\langle{u_j,u_j}\right\rangle=1$ e

$\left\langle{u_i,u_j}\right\rangle=0$ para

$i\neq j$ quaisquer. Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal. Se

$\{u_1,\ldots,u_n\}$ é uma base ortonormal então

$x=\sum_{i=1}^n \left\langle{x,u_i}\right\rangle u_i$ para todo

$x\in\mathbb{R}^n$ . Solución

2.3. Considere em

$\mathbb{R}^m$ e em

$\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana. Dada una aplicação linear

$A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , existe uma única aplicação linear

$A^*\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , chamada a transposta (ou adjunta) de

$A$ , tal que

$\left\langle{Ax,y}\right\rangle=\left\langle{x,A^*y}\right\rangle$ para quaisquer

$x\in\mathbb{R}^m$ ,

$y\in\mathbb{R}^n$ . Dado

$b\in\mathbb{R}^n$ , a equação

$Ax=b$ possui solução

$x\in\mathbb{R}^m$ se, e somente se,

$b$ é ortogonal a todo elemento do núcleo de

$A^*$ . Conclua que a imagen de

$A^*$ e a imagem de

$A$ têm a mesma dimensão. Solución

2.4. Uma aplicação linear

$A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ diz-se simétrica cuando

$A=A^*$ . Prove que o conjunto

$S$ das aplicaçãoes lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão

$n(n+1)/2$ em

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$ . Quando

$A^*=-A$ , diz-se que

$A$ é anti-simétrica. Prove que o conjunto

$T$ das aplicações lineares anti-simétricas é um subespaço vetorial de dimensão

$n(n-1)/2$ em

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$ e que toda aplicação linear

$A$ se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica, isto é

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)=S\oplus T$ . Solución

2.5. Considere em

$\mathbb{R}^m$ e

$\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana. As seguintes afirmaçãoes a respeito de uma aplicação linear

$A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ são equivalentes:

$|Ax|=|x|$ para todo $x\in\mathbb{R}^m$ ;
$|Ax-Ay|=|x-y|$ para quaisquer $x,y\in\mathbb{R}^m$ ;
$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$ para quaisquer $x,y\in\mathbb{R}^m$ ;
Todo conjunto ortonormal em $\mathbb{R}^m$ é transformado por $A$ num conjunto ortonormal em $\mathbb{R}^n$ ;
$A^*\cdot A=I_m$ (aplicação identidade de $\mathbb{R}^m$ );
As colunas da matriz $A$ forman um conjunto ortonormal em $\mathbb{R}^m$ .

Quando

$m=n$ , tem-se também

$AA^*=I_m$ e a aplicação linear

$A$ chama-se ortogonal. Solución

2.6. Se

$A$ é ortogonal então

$\operatorname{det} A=\pm 1$ . Solución

2.7. Dados os números reais

$a,b,c$ , a fin de que exista em

$\mathbb{R^2}$ um produto interno tal que

$\left\langle{e_1,e_1}\right\rangle=a$ ,

$\left\langle{e_1,e_2}\right\rangle=\left\langle{e_2,e_1}\right\rangle=b$ e

$\left\langle{e_2,e_2}\right\rangle=c$ , é necessário e suficiente que

$a>0$ e

$ac>b^2$ . Solución

2.8. Existe em

$\mathbb{R}^3$ um produto interno tal que

$\left\langle{e_1,e_1}\right\rangle=2$ ,

$\left\langle{e_2,e_2}\right\rangle=3$ ,

$\left\langle{e_3,e_3}\right\rangle=4$ ,

$\left\langle{e_1,e_2}\right\rangle=0$ e

$\left\langle{e_2,e_3}\right\rangle=\left\langle{e_1,e_3}\right\rangle=1$ . Solución

2.9. Se

$c\in[a,b]$ então

$|b-a|=|b-c|+|c-a|$ . Se a norma provém de um produto interno, vale a recíproca. Para uma norma arbitrária pode-se ter a igualdade acima com

$c\notin [a,b]$ . Solución

2.10. Se a norma provém de um produto interno e

$a\neq b$ em

$\mathbb{R}^n$ são tais que

$|a|\leq r$ e

$|b|\leq r$ então

$|(1-t)a+tb| < r$ para todo

$t\in(0,1)$ . (Ou seja, a esfera não contém segmentos de reta). Solución

2.11. Sea

$C\subseteq\mathbb{R}^n$ um conjunto convexo. Fixado

$p\in\mathbb{R}^n$ , seja

$\varphi\colon C\to\mathbb{R}$ a funcão definida por

$\varphi(x)=\|x-p\|=\sqrt{\left\langle{x-p,x-p}\right\rangle}$ . Existe no máximo um ponto

$a\in C$ tal que

$\varphi(a)=\inf\{\varphi(x)\colon x\in C\}$ . Solución

2.12. Fixe números reais

$\alpha$ ,

$\beta$ con

$\alpha<\beta$ e, para cada

$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ponha

$\|x\|=\sup\limits_{\alpha\leq t\leq\beta}\left|x_1+x_2t+\cdots+x_nt^{n-1}\right|$ . Prove que isto define uma norma em

$\mathbb{R}^n$ , a qual não provém de um produto interno. Solución

2.13. Dado um subconjunto

$X\subseteq\mathbb{R}^n$ , su complemento ortogonal é o conjunto

$X^\perp=\{y\in\mathbb{R^n}: \ \left\langle{x,y}\right\rangle=0 \text{ para todo }x\in X \}$ .

$X^\perp$ é um subespaço vetorial de

$\mathbb{R^n}$ . Se

$E\subseteq\mathbb{R}^n$ é um subespaço vetorial então

$E^{\perp\perp}=E$ . Solución

2.14. Sejam

$E\subseteq\mathbb{R}^n$ un subespaço vetorial,

$(e_1,\ldots,e_)$ uma base ortonormal de

$E$ e

$a\in\mathbb{R}^n$ um vetor arbitrario. Pondo

$a_0=\left\langle{a,e_1}\right\rangle e_1+\ldots+\left\langle{a,e_k}\right\rangle e_k$ , o vetor

$a-a_0$ é perpendicular a todos os vetores de

$E$ , e

$|a-a_0|\leq |a-y|$ para todo

$y\in E$ . A função

$\varphi\colon E\to\mathbb{R}$ , definida por

$\varphi(y)=|a-y|$ , atinge seu valor mínimo num único ponto de

$E$ , a saber, o ponto

$a_0$ . Daí resulta que

$a_0$ depende apenas de

$a$ , mas não da base ortonormal escolhida em

$E$ . A aplicação

$\pi\colon\mathbb{R}^n\to E$ , dada por

$\pi(a)=a_0$ , é linear, seu núcleo é

$E^\perp$ e todo vector

$z\in\mathbb{R}^n$ se escreve, de modo único, como

$z=x+y$ , com

$x\in E$ e

$y\in E^\perp$ , logo

$\mathbb{R}^n=E\oplus E^\perp$ . Solución

2.15. Prove que as seguintes afirmações a respeito de uma aplicação linear

$A\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ são equivalentes:

Existe $\alpha>0$ tal que $\langle Ax,Ay\rangle=\alpha^2\langle x,y\rangle$ , quaisquer que sejam $x,y\in\mathbb{R}^n$ ;
$|Ax|=\alpha\cdot |x|$ para todo $x\in\mathbb{R}^n$ ( $\alpha$ constante);
Se $(e_1,\ldots,e_n)$ é uma base ortogonal, então $\langle Ae_i,Ae_j\rangle=0$ para $i\neq j$ e $|Ae_i|=\alpha$ para quaisquer $i,j=1,\ldots,n$ .

Quando isto ocurre,

$A$ chama-se uma semelhança. Solución

2.16. A fim de que

$A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ seja uma semelhança, é necessário e suficiente que exista

$\alpha>0$ tal que

$(1/\alpha)A$ seja ortogonal. Solución

3.1. O conjunto das matrizes reais

$2\times 2$ de la forma

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{bmatrix}$ constitui um corpo, que é isomorfo ao corpo

$\mathbb{C}$ de los números complexos. Solución

3.2. Dados

$z,w\in\mathbb{C}-\{0\}$ , tem-se

$\sphericalangle (w,z)=\sphericalangle\left(\dfrac{1}{z},\dfrac{1}{w}\right)$ . Solución

3.3. Dados

$a=re^{it}\in\mathbb{C}-\{0\}$ y

$n\in\mathbb{N}$ , la equação

$z^n-a=0$ possui exatamente

$n$ raíces, que são os números complexos

$\begin{equation*} z_j=\sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{t+2\pi j}{n}+i\sin\dfrac{t+2\pi j}{n}\right) \end{equation*}$

$j=0,1,\ldots,n-1$ . Solución

3.4. As seguintes afirmações respeito de uma aplicação linear

$A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ são equivalentes: (i)

$A$ es una semelhança e

$\det A>0$ ; (ii) Existe um número complexo

$w\neq 0$ tal que

$A\cdot z=w\cdot z$ (multiplicação complexa) para todo

$z\in\mathbb{R}^2$ . Solución

4.1. Qualquer que seja a norma adotada em

$\mathbb{R}^n$ (

$n>1$ ), a esfera unitaria

$S=\{x\in\mathbb{R}^n:\ \|{x}\|=1\}$ é um conjunto infinito. Solución

4.2. Dados

$x\in S[a;r]$ y

$\varepsilon>0$ , pruebe que existen

$y\in B(a;r)$ y

$z\notin B[a;r]$ tales que

$\|{y-x}\|<\varepsilon$ y

$\|{z-x}\|<\varepsilon$ . Solución

4.3. Si

$X\subset\mathbb{R}^n$ e

$Y\subset\mathbb{R}^n$ são conjuntos convexos então seu produto cartesiano

$X\times Y\subset\mathbb{R}^{m+n}$ é convexo. Solución

4.4. A interseção de uma família arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo. Solución

4.5. Dados

$X,Y\subset\mathbb{R}^n$ , seja

$X*Y$ la reunião de todos os segmentos de recta

$[x,y]$ , onde

$x$ varia em

$X$ y

$y$ em

$Y$ . Si

$X$ e

$Y$ são convexos entonces

$X*Y$ é convexo. Solución

4.6. Dados

$X\subset\mathbb{R}^n$ y

$\varepsilon>0$ , sea

$B(X;\varepsilon)$ a reunião das bolas

$B(x;\varepsilon)$ con

$x\in X$ . Si

$X$ é convexo então

$B(X;\varepsilon)$ é convexo. Solución

4.7. Dado

$X\subset\mathbb{R}^n$ , la envoltura convexa de

$X$ é a interseção

$C(X)$ de todos os subconjuntos convexos de

$\mathbb{R}^n$ que contêm

$X$ . Prove que

$C(X)$ é o conjunto de todas as combinações lineares

$\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_kx_k$ tais que

$x_1,\ldots,x_k\in X$ ,

$\alpha_1\geq 0, \ldots ,\alpha_k\geq 0$ e

$\alpha_1+\cdots+\alpha_k=1$ . Solución

5.1. Se existirem seqüências de pontos

$x_k,y_k\in\mathbb{R}^n$ con

$\lim x_k=a$ ,

$\lim y_k=b$ y

$\|{y_k-a}\|< r <\|{x_k-b}\|$ para todo

$k\in\mathbb{N}$ entonces

$\|{a-b}\|=r$ . Solución

5.2. As seguintes afirmações a respeito de uma seqüência

$(x_k)$ de ponto de

$\mathbb{R}^n$ são equivalentes:

$\lim\limits_{k\to\infty}|x_k|=+\infty$ ;
$(x_k)$ não possui subseqüência convergente;
Para todo conjunto limitado $L\subseteq\mathbb{R}^n$ , o conjunto dos índices $k$ tais que $x_k\in L$ é finito.

Solución

5.3. Se

$b\in B(a;r)\subset\mathbb{R}^n$ e

$\lim x_k=b$ então existe

$k_0\in\mathbb{N}$ tal que

$k>k_0$

$\Rightarrow$

$x_k\in B(a;r)$ . Solución

5.4. Defina convergência e convergência absoluta (ou normal) de uma série

$\sum x_k$ cujos termos

$x_k=(x_{k1},\ldots,x_{kn})$ pertecem a

$\mathbb{R}^n$ . Prove que a série

$\sum x_k$ converge (resp. converge absolutamente) se, e somente se, para cada

$i=1,\ldots,n$ , a série

$\sum\limits_{k}x_{ki}$ converge (resp. converge absolutamente). Conclua que toda série absolutamente convergente em

$\mathbb{R}^n$ é convergente. Solución

5.5. Prove que

$\lim x_k=a$ em

$\mathbb{R}^n$ se, e somente se,

$\lim \left\langle{x_k,y}\right\rangle=\left\langle{a,y}\right\rangle$ para todo

$y\in\mathbb{R}^n$ . Solución

5.6. Dada uma seqüência de aplicações lineares

$A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ suponha que, para todo

$x\in\mathbb{R}^m$ , exista

$Ax=\lim\limits_{k\to\infty}A_kx$ . Prove que a aplicação

$A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , asim definida, é linear, que

$\lim\limits_{k\to\infty}A_k=A$ relativamente a qualquer norma em

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ e que a convergência

$A_kx\to Ax$ é uniforme em toda parte limitada de

$\mathbb{R}^m$ . Solución

5.7. Para toda aplicação

$X\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$ , a série

$\sum_{k=0}^\infty X^k/k!$ é absolutamente convergente. Indicando sua soma por

$e^X$ , tem-se

$e^X\cdot e^Y=e^{X+Y}$ desde que

$XY=YX$ . Conclua que, para toda

$X\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$ ,

$e^X$ é invertível, com

$(e^X)^{-1}=e^{-X}$ . Solución

5.8. Toda matriz

$n\times n$ é límite de una seqüência de matrizes invertíveis

$n\times n$ . Solución

6.1. As seguintes afirmações a respeito de um ponto

$a\in\mathbb{R}^n$ é um conjunto

$X\subset\mathbb{R}^n$ são equivalentes:

$a=\lim x_k$ com $x_k\in X$ e $x_k\neq a$ para todo $k\in \mathbb{N}$ ;
$a=\lim y_k$ com $y_k\in X$ para todo $k\in \mathbb{N}$ e $y_k\neq x_\ell$ se $k\neq\ell$ .

Solución

6.2. Se nenhum ponto do conjunto

$X$ é ponto de acumulação então se pode escolher, para cada ponto

$x\in X$ , uma bola aberta

$B_x$ , de centro

$x$ , de tal maneira que, para

$x\neq y$ em

$X$ se tenha

$B_x\cap B_y=\emptyset$ . Solución

6.3. Todo conjunto discreto é enumerável. Noutras palavras: todo conjunto não-enumerável contém um ponto de acumulação. Solución

7.1. Seja

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ contínua. Dada uma seqüência de pontos

$x_k\in X$ con

$\lim x_k=a\in X$ y

$\|{f(x_k)}\| \leq c$ para todo

$k\in\mathbb{N}$ então

$\|{f(a)}\| \leq c$ . Solución

7.2. Sejam

$f,g\colon X\to\mathbb{R}^n$ contínuas no ponto

$a\in X$ . Se

$f(a)\neq g(a)$ então existe uma bola

$B$ de centro

$a$ tal que

$x,y\in B$

$\Rightarrow$

$f(x)\neq g(y)$ . Solución

7.3. Seja

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ contínua no ponto

$a\in X$ . Si

$f(a)$ não pertence á bola fechada

$B[b;r]\subset\mathbb{R}^n$ então existe

$\delta>0$ tal que

$x\in X$ ,

$\|{x-a}\| < \delta$

$\Rightarrow$

$f(x)\notin B[b;r]$ . Solución

7.4. Seja

$f\colon X\to\mathbb{R}$ continua no ponto

$a\in X$ . Si

$f(a)>0$ então existe

$\delta>0$ tal que

$x\in X$ ,

$\|{x-a}\| < \delta$

$\Rightarrow$

$f(x)>0$ . Solución

7.5 Seja

$f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ contínua. Se

$X\subset\mathbb{R}^m$ é limitado então

$f(X)\subset\mathbb{R}^n$ é limitado. Solución

7.6. Uma aplicação

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ chama-se localmente Lipschitziana quando, para todo

$x\in X$ , existe uma bola aberta

$B$ , de centro

$x$ , tal que

$f|_{B\cap X}$ é Lipschitziana. Prove que la funçã

$f\colon]0,1]\to\mathbb{R}$ , dada por

$f(x)=\sqrt{x}$ , é localmente Lipschitziana. Mostre que a função

$g\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ ,

$g(x)=\sqrt{x}$ , embora contínua, não é localmente Lipschitziana. Solución

7.7. Se a aplicação linear

$A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ é injectiva então existe

$c>0$ tal que

$\|{Ax}\| \geq c\|{x}\|$ para todo

$x\in\mathbb{R}^m$ . Solución

7.8. Seja

$B$ a bola aberta de centro na origem e raio

$1$ em

$\mathbb{R}^m$ . La aplicação contínua

$f\colon B\to\mathbb{R}^n$ , definida por

$f(x)=x/(1-\| x\| )$ , não é uniformemente contínua. Solución

7.9. Se

$f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ é contínua então, para cada parte limitada

$X\subseteq\mathbb{R}^m$ , la restrição

$f|_X$ é uniformemente contínua. Solución

7.10. Sejan

$I$ ,

$J$ intervalos da reta com interseção não vazia. Se

$f\colon I\cup J\to\mathbb{R}^n$ é tal que

$f|_I$ y

$f|_J$ são uniformemente contínuas então

$f$ é uniformemente contínua. Solución

7.11. Considerando as seqüências de pontos

$z_k=(k,1/k)$ e

$w_k=(k,0)$ em

$\mathbb{R}^2$ , prove que a aplicação

$\varphi\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ , dada por

$\varphi(x,y)=xy$ , não é uniformemente contínua. Use um argumento análogo para provar que uma aplicação bilinear

$\varphi\colon\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ só é uniformemente contínua se for identicamente nula. Solución

7.12. Sejan

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ e

$a\in X$ . Suponha que, para todo

$\varepsilon>0$ , exista

$g\colon X\to\mathbb{R}^n$ , contínua no ponto

$a$ , tal que

$\|{f(x)-g(x)}\| < \varepsilon$ para todo

$x\in X$ . Então

$f$ é contínua no ponto

$a$ . Solución

7.13. Considere em

$\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana. Dada una isometria

$f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ , existem um vetor

$b\in\mathbb{R}^n$ e uma transformação linear (necessariamente ortogonal)

$A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tais que

$f(x)=Ax+b$ para todo

$x\in\mathbb{R}^n$ . Solución

7.14. Dada uma aplicaç,ão lineae

$A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , e fixadas normas em

$\mathbb{R}^m$ y

$\mathbb{R}^n$ , a imagen por

$A$ da esfera unitária

$S=\{x\in\mathbb{R}^m:\ |{x}|=1\}$ é um conjunto limitado em

$\mathbb{R}^n$ . Pondo, para cada

$A\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ ,

$|{A}|=\sup\{|{Ax}|;\ x\in S\}$ , a função

$A\mapsto |{A}|$ é uma norma no espaço vetorial

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ , para a qual vale a desigualdade

$|{Ax}|\leq |{A}||{x}|$ para todo

$x\in\mathbb{R}^m$ . Além disso, se

$A\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ y

$B\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^p)$ então, fixadas normas em

$\mathbb{R}^m$ ,

$\mathbb{R}^n$ y

$\mathbb{R}^p$ , tem-se

$|{BA}|\leq |{B}| |{A}|$ . Solución

8.1. O cone

$C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon z\geq 0, \ x^2+y^2-z=0\}$ é homeomorfo a

$\mathbb{R}^2$ . Solución

8.2. Estabeleça um homeomorfismo entre

$\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ y

$S^n\times\mathbb{R}$ . Solución

8.3. Para cada

$c>0$ , o hiperbolóide de revolução

$H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon x^2+y^2-z^2=c\}$ é homeomorfo a

$S^1\times\mathbb{R}$ . Solución

8.4. O cuadrante

$P=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon x\geq 0,\ y\geq 0\}$ é homeomorfo ao semi-plano superior

$S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y\geq 0\}$ . Solución

8.5. Os conjuntos

$X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y=0,\ 0< x < 1\}$ e

$Y=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon y=0\}$ são homeomorfos mas não existe um homeomorfismo

$h\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ tal que

$h(X)=Y$ . Solución

8.6. Estabeleça um homeomorfismo entre os conjuntos

$X=\{x\in\mathbb{R}^n\colon 0 < \|{x}\| \leq 1\}$ (bola unitária fechada menos a origen) e

$Y=\{y\in\mathbb{R}^n\colon \|{y}\| \geq 1\}$ (complementar da bola unitária aberta). Solución

8.7. A "figura 8" é a reunião de dois círculos tangentes externamente em

$\mathbb{R}^2$ . Defina uma biyeção contínua de

$\mathbb{R}$ sobre a figura

$8$ e mostre que sua inversa é discontinua. Solución

8.8. Um conjunto

$X\subset\mathbb{R}^n$ chama-se topologicamente homogêneo quando, dados

$a,b\in X$ quaisquer, existe um homeomorfismo

$h\colon X\to X$ tal que

$h(a)=b$ . Prove que, para todo

$n\in\mathbb{N}$ , o espaço

$\mathbb{R}^n$ e a esfera

$S^n$ são topologicamente homogêneos. Por outro lado, o intervalo fechado

$[0,1]$ não es topologicamente homogêneo. Solución

8.9. Toda bola aberta em

$\mathbb{R}^n$ é topologicamente homogênea. Solución

8.10. Sejan

$G$ um grupo multiplicativo de matrizes

$n\times n$ y

$H\subset G$ un subgrupo. Dadas duas classes laterais

$aH$ y

$bH$ (donde

$a,b\in G$ ), mostre que existe un homeomorfismo

$\varphi\colon G\to G$ tal que

$\varphi(aH)=bH$ . Solución

8.11. La projecão estereográfica

$\varphi\colon S^2\setminus\{p\}\to\mathbb{R}^2$ transforma os cír;culos em

$S^2$ que passan pelo polo

$p$ em retas de

$\mathbb{R}^2$ e os círculos em

$S^2$ que não contêm o polo em círculos de

$\mathbb{R}^2$ . Solución

9.1. Sejam

$X\subseteq\mathbb{R}^m$ ilimitado,

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ uma aplicação e

$a\in\mathbb{R}^n$ . Diz-se que

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a$ quando, para todo

$\varepsilon >0$ dado, existe

$r>0$ tal que

$x\in X$ ,

$|x|>r$

$\Rightarrow$

$|{f(x)-a}|<\varepsilon$ . Prove que

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a$ se, e somente se, para toda seqüencia de pontos

$x_k\in X$ con

$\lim\limits_{k\to\infty}|{x_k}|=\infty$ , tem-se

$\lim\limits_{k\to\infty}f(x_k)=a$ . Solución

9.2. Sejam

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ uma aplicação e

$a$ um ponto de acumulação do conjunto

$X\subset\mathbb{R}^m$ . Diz-se que

$\lim\limits_{x\to a} f(x)=\infty$ quando, para todo

$r>0$ , existe

$\delta>0$ tal que

$x\in X$ ,

$0<|{x-a}|<\delta$

$\Rightarrow$

$|{f(x)}|>r$ . Prove que

$\lim\limits_{x\to a} f(x)=\infty$ se, e somente se, para toda seqüência de puntos

$x_k\in X-\{a\}$ , con

$\lim x_k=a$ , tem-se

$\lim |{f(x_k)}|=\infty$ . Solución

9.3. Seja

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ definida num conjunto ilimitado

$X\subseteq\mathbb{R}^m$ . Defina o que se entiende por

$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty$ e dê uma caracterização deste conceito por meio de seqüências. Solución

9.4. Seja

$p\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ un polinômio complexo não-constante. Mostre que

$\lim\limits_{z\to\infty}p(z)=\infty$ . Solución

9.5. Seja

$f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por

$f(x,y)=(x^2-y)y / x^4$ se

$0 < y < x^2$ e

$f(x,y)=0$ nos demais pontos. Prove que o límite de

$f(x,y)$ é zero quando

$(x,y)$ tende para

$(0,0)$ ao longo de qualquer reta que passe pela origen mas não se tem

$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=0$ . Solución

9.6. Seja

$f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ definida por

$f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ se

$x^2+y^2\neq 0$ e

$f(0,0)=0$ . Mostre que

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\lim\limits_{y\to 0} f(x,y)\right)\neq\lim\limits_{y\to 0}\left(\lim\limits_{x\to 0} f(x,y)\right)$ . Solución

9.7. Seja

$h\colon B\to\mathbb{R}^n$ o homeomorfismo da bola abierta de centro~

$0$ e radio

$1$ em

$\mathbb{R}^n$ dado por

$h(x)=\dfrac{x}{1- |x|}$ . Fixado arbitrariamente

$a\in\mathbb{R}^n$ , seja

$T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ a traslação

$T(x)=x+a$ . Considere o homeomorfismo

$\varphi=h^{-1}Th \colon B\to B$ . Prove que

$\lim\limits_{x\to b}\varphi(x)=b$ para todo

$b\in\partial B$ . Conclua que, dados arbitrariamente

$c,d\in B$ existe um homeomorfismo

$\bar\varphi\colon\bar B\to\bar B$ tal que

$\bar\varphi(c)=d$ y

$\bar\varphi(x)=x$ para todo

$x\in\partial B$ . Solución

10.1. Um ponto

$a\in X$ é aberto en

$X$ se, e solamente se, é um ponto isolado de

$X$ . Conseqüentemente, um conjunto

$X\subset\mathbb{R}^n$ é discreto se, e somente se, qualquer subconjunto

$A\subseteq X$ é aberto em

$X$ . Solución

10.2. Seja

$h\colon X\to Y$ um homeomorfismo. Um conjunto

$A\subseteq X$ ê aberto em

$X$ se, e somente se,

$h(A)$ ê aberto em

$Y$ . Solución

10.3. Se

$A\subseteq\mathbb{R}^n$ é aberto então sua fronteira

$\partial A$ possui interior vazio. Dê exemplo de um conjunto

$X\subseteq\mathbb{R}^n$ cuja fronteira

$\partial X$ sea um conjunto aberto. Solución

10.4. Para quaisquer

$X,Y\subseteq\mathbb{R}^n$ , tem-se

$\operatorname{int}(X\cap Y)=\operatorname{int} X \cap \operatorname{int} Y$ e

$\operatorname{int}(X\cup Y)\supseteq \operatorname{int} X\cup \operatorname{int} Y$ . Dê um exemplo em que esta inclusão não se reduz a uma igualdade. Solución

10.5. Uma aplicação

$f\colon X\to Y$ é aberta se, e somente se, para toda bola aberta

$B$ com centro num ponto de

$X$ ,

$f(B\cap X)$ é aberto em

$Y$ . Solución

10.6. Sejan

$X\subseteq\mathbb{R}^m$ ,

$Y\subseteq\mathbb{R}^n$ . Uma aplicação

$f\colon X\to Y$ chama-se homeomorfismo local quando, para cada ponto

$x\in X$ , existe

$A$ aberto em

$X$ , com

$x\in A$ , tal que

$f|_A$ é um homeomorfismo de

$A$ sobre um conjunto aberto em

$Y$ . (i) Prove que

$\xi\colon\mathbb{R}\to S^1$ ,

$\xi(t)=(\cos t,\sin t)$ , é um homeomorfismo local; (ii) Prove que todo homeomorfismo local é uma aplicação aberta; (iii) Si

$f\colon X\to Y$ é um homeomorfismo local então, para todo

$y\in Y$ , a imagen inversa

$f^{-1}(y)$ é um conjunto discreto. Solución

10.7. Seja

$A\subseteq\mathbb{R}^n$ aberto, com

$n\geq 2$ . Dado

$a\in\mathbb{R}^n\setminus A$ , o conjunto

$A\cup\{a\}$ é aberto se, e somente se,

$a$ é ponto isolado da fronteira

$\partial A$ . Equivalentemente: existe uma bola

$B=B(a;r)$ tal que

$B\setminus\{a\}\subseteq A$ . Solución

10.8. Seja

$E\subseteq\mathbb{R}^n$ um subespaço vetorial. Se

$E\neq\mathbb{R}^n$ então

$\operatorname{int}E=\emptyset$ . Solución

10.9. O conjunto das matrizes invertíveis

$n\times n$ é aberto em

$\mathbb{R}^{n^2}$ . Solución

10.10. Uma aplicação linear

$A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ diz-se positiva quando é simétrica e, além disso,

$\langle Ax,x\rangle>0$ para todo

$x\neq 0$ en

$\mathbb{R}^n$ . O conjunto das aplicações lineares positivas é convexo e aberto no conjunto das aplicações simétricas. Solución

10.11. Seja

$G$ um grupo multiplicativo de matrizes

$n\times n$ . Se

$\operatorname{int}(G)\neq\emptyset$ então

$G$ é aberto em

$\mathbb{R}^{n^2}$ . Solución

10.12. O conjunto das aplicações lineares injetivas &etilde; aberto em

$\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ . Idem para as sobrejetivas. Solución

10.14.Toda coleção de abertos não-vazios, dois a dois disjuntos, é enumerável. Solución

11.1. Se um aberto

$A$ contém pontos do fecho de

$X$ então

$A$ contém pontos de

$X$ . Solución

11.2. Dê exemplo de conjuntos

$X,Y\subset\mathbb{R}^2$ , tais que as projeções de

$X$ sobre os eixos são subconjuntos abertos de

$\mathbb{R}$ , as de

$Y$ são fechadas, mas nem

$X$ é aberto em

$\mathbb{R}^2$ nem

$Y$ é fechado. Solución

11.3. O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto

$X\subseteq\mathbb{R}^n$ é fechado. Solución

11.4. Quaisquer que sejam

$X,Y\subseteq\mathbb{R}^n$ , tem-se

$\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}$ y

$\overline{X\cap Y}\subseteq \overline{X}\cap \overline{Y}$ . Pode ocorrer

$\overline{X\cap Y}\neq \overline{X}\cap \overline{Y}$ . Solución

11.5. Um conjunto

$A\subset\mathbb{R}^n$ é aberto se e somente se

$A\cap\overline{X}\subset\overline{A\cap X}$ para todo

$X\subset\mathbb{R}^n$ . Solución

11.6. Se

$X\subseteq\mathbb{R}^m$ e

$Y\subseteq\mathbb{R}^n$ então

$\overline{X\times Y}=\overline{X}\times \overline{Y}$ em

$\mathbb{R}^{m+n}$ . Solución

11.7.

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ é contínua se, e somente se, para todo conjunto

$Y\subseteq X$ , se tiene

$f(X\cap\overline{Y})\subseteq\overline{f(Y)}$ . Solución

11.8.

$A\subset\mathbb{R}^n$ é aberto se, e somente se,

$A\cap\overline{\mathbb{R}^n-A}=\emptyset$ . Solución

11.9. Todo subespaço vetorial

$E\subseteq\mathbb{R}^n$ é um conjunto fechado. Se

$E\neq\mathbb{R}^n$ então

$\overline{\mathbb{R}^n\setminus E}=\mathbb{R}^n$ . Solución

11.10. O fecho de um conjunto convexo é convexo. Solución

11.11. Seja

$A\subseteq\mathbb{R}^n$ aberto e convexo. Prove que

$A=\operatorname{int}\overline{A}$ . Dê exemplo de um conjunto aberto não convexo

$A$ que seja um subconjunto própio de

$\operatorname{int}\overline{A}$ . Solución

11.12. Seja

$B(X;\varepsilon)$ a reunião das bolas abertas

$B(x;\varepsilon)$ de raio

$\varepsilon$ e centro em algum ponto

$x\in X$ . Prove que

$\overline{X}=\bigcap\limits_{\varepsilon>0}B(X;\varepsilon)$ . Solución

11.13. Se

$F\subseteq\mathbb{R}^n$ é fechado, ent´o sua fronteira

$\partial F$ tem interior vazio. Solución

11.14. Um conjunto

$F\subseteq\mathbb{R}^n$ é fechado se, e somente se,

$F\supseteq\partial F$ . Solución

11.15. Todo conjunto fechado

$F\subseteq\mathbb{R}^n$ é fronteira de algum conjunto

$X\subseteq\mathbb{R}^n$ . Solución

11.16. Sejam

$F\subseteq X\subseteq Y$ . Se

$F$ é fechado em

$X$ e

$X$ é fechado em

$Y$ então

$F$ é fechado em

$Y$ . Solución

11.17. Sejam

$F$ ,

$G$ fechados em

$X=F\cup G$ . Se

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ é tal que suas restrições

$f|_{F}$ y

$f|_{G}$ são contínuas então

$f$ é contínua. Solución

11.18. O conjunto das matrices invertíveis é denso em

$\mathbb{R}^{n^2}$ . Solución

11.19. Sejam

$G$ um grupo multiplicativo de matrizes

$n\times n$ y

$H$ un subgrupo de

$G$ . Mostre que se

$H$ for aberto em

$G$ então

$H$ será también será fechado em

$G$ . (Sugerencia: considere las clases laterales de

$H$ en

$G$ ). Solución

11.20. Um conjunto

$X\subseteq\mathbb{R}^n$ tem interior vazio se, e somente se, seu complementar é denso em

$\mathbb{R}^n$ . Solución

11.21. O conjunto das matrizes

$n\times n$ com determinante

$1$ é um fechado ilimitado com interior vazio em

$\mathbb{R}^{n^2}$ . Solución

11.22. Se

$A\subset X$ é aberto em

$X$ e

$D\subset X$ é denso em

$X$ então

$A\cap D$ es denso en

$A$ . Solución

11.23. Dada uma seqüência de pontos

$x_k\in\mathbb{R}^n$ ponhamos, para cada

$k\in\mathbb{N}$ ,

$X_k=\{x_k,x_{k+1},\ldots\}$ . Prove que

$\bigcap\limits_{k\in\mathbb{N}}\overline{X}_k$ é o conjunto dos valores de adherência da seqüência

$(x_k)$ e conclua que tal conjunto é fechado. Solución

11.24. (Teorema de Baire). Sejan

$F_1, F_2, \ldots, F_i, \ldots$ , conjuntos fechados com interior vazio em

$\mathbb{R}^n$ . Então

$F=F_1\cup F_2\cup\ldots$ tem interior vazio. Conclua que se

$A_1, A_2, \ldots, A_i, \ldots$ são abertos densos em

$\mathbb{R}^n$ então

$A=A_1\cap A_2\cap\ldots$ é denso em

$\mathbb{R}^n$ . Solución

11.25. Todo conjunto fechado enumerável possui algum ponto isolado. Solución

12.1. O conjunto dos valores de adherência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não-vazio. Solución

12.2. As matrizes ortogonais

$n\times n$ formam um subconjunto compacto de

$\mathbb{R}^{n^2}$ . Solución

12.3. Todo conjunto infinito

$X\subset\mathbb{R}^n$ possui um subconjunto não-compacto. Solución

12.4. A proposição (12.4) seria falsa se tomássemos conjuntos fechados

$F_1\supset F_2\supset\cdots\supset F_i\supset \cdots$ en vez de compactos. Solución

12.5. Seja

$X\subseteq\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ um conjunto compacto que contém exatamente um ponto em cada semi-recta de origen

$0$ em

$\mathbb{R}^{n+1}$ . Prove que

$X$ é homeomorfo a esfera unitária

$\mathbb{S}^n$ . Solución

12.6. Seja

$X\subset\mathbb{R}^n$ . Se todo conjunto homeomorfo a

$X$ for limitado então

$X$ é compacto. Solución

12.7. Se todo conjunto

$Y\subset\mathbb{R}^n$ homeomorfo a

$X$ for fechado então

$X$ é compacto. Solución

12.9. Sejan

$K,L\subset\mathbb{R}^n$ compactos. O conjunto

$K*L$ , reunião de todos os segmentos de recta

$[x,y]$ , com

$x\in K$ ,

$y\in L$ , é compacto. Se

$F\subset\mathbb{R}^n$ é apenas fechado e

$a\in\mathbb{R}^n$ então

$a*F$ pode não ser fechado. Solución

12.10. Seja

$C(X)$ a interseção de todos os subconjuntos convexos de

$\mathbb{R}^n$ que contem

$X\subset\mathbb{R}^n$ . Se

$X$ é compacto então

$C(X)$ também é. Solución

12.11. Seja

$X\subset\mathbb{R}^m$ . Uma aplicacão

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ chama-se localmente inyectiva quando para cada

$x\in X$ existe uma bola

$B$ de centro

$x$ en

$\mathbb{R}^m$ tal que

$f|_{B\cap X}$ es inyectiva

$\ldots$ Solución

12.12. Sea

$f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ contínua. As seguintes afirmações são equivalentes

$\ldots$ Solución

12.13. Seja

$X\subseteq\mathbb{R}^m$ . Uma aplicação limitada

$\varphi\colon X\to\mathbb{R}^n$ é contínua se, e somente se, seu gráfico é um subconjunto fechado de

$X\times\mathbb{R}^n$ . Solución

12.14. Sejam

$K\subseteq\mathbb{R}^m$ ,

$K\subseteq\mathbb{R}^n$ compacto,

$f\colon X\times K\to\mathbb{R}^p$ contínua e

$c\in\mathbb{R}^p$ . Suponha que, para cada

$x\in X$ , exista um único

$y\in K$ tal que

$f(x,y)=c$ . Prove que esse

$y$ depende continuamente de

$x$ . Solución

12.15. Seja

$f\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a função contínua definida por

$f(x,y)=(x^2+y^2)(1-xy)$ . Para cada

$x\in\mathbb{R}$ existe um único

$y\in\mathbb{R}$ tal que

$f(x,y)=0$ , mas tal

$y$ não depende continuamente de

$x$ . Solución

12.16. Seja

$f\colon\mathbb{R}\times[0,1[\to\mathbb{R}$ definida por

$f(x,y)=\left(x^2+y^2\right)\left(1-ye^{|x|}\right)$ . Para cada

$x\in\mathbb{R}$ , existe um único

$y=\varphi(x)\in[0,1[$ tal que

$f(x,y)=0$ , mas a função

$\varphi\colon\mathbb{R}\to[0,1[$ , asim definida, não é contínua. Solución

12.17. Seja

$K\subseteq\mathbb{R}^n$ compacto. Prove que a projeção

$\pi\colon\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ,

$\pi(x,y)=x$ , transforma todo conjunto fechado

$F\subseteq\mathbb{R}^m\times K$ num fechado

$\pi(F)\subseteq\mathbb{R}^m$ . Solución

12.18. Sejam

$K\subseteq\mathbb{R}^n$ compacto,

$a\in\mathbb{R}^m$ y

$U\subseteq\mathbb{R}^{m+n}$ um aberto tal que

$a\times K\subseteq U$ . Prove que existe uma bola

$B\subseteq\mathbb{R}^m$ , de centro

$a$ , tal que

$B\times K\subseteq U$ . Solución

13.1. Se

$U\subset\mathbb{R}^n$ é um aberto limitado, não existem

$x_0,y_0\in U$ tais que

$\|{x_0-y_0}\|=\operatorname{diam}(U)$ . Solución

13.2. Seja

$B=B[a;r]\subset\mathbb{R}^n$ . Para todo

$x\in\mathbb{R}^n$ , tem-se

$d(x,B)=\max\{0,\|{x-a}\|-r\}$ . Solución

13.3. Seja

$T=\mathbb{R}^n-B[a,r]$ . Para todo

$x\in\mathbb{R}^n$ , tem-se

$d(x,T)=\max\{0,r-\|{x-a}\|\}$ . Solución

13.4.

$d(S,T)=\inf\limits_{x\in S} d(x,T)$ . Solución

13.5. A função de Urysohn de un par de cerrados disjuntos

$F,G\subset\mathbb{R}^n$ é uniformemente contínua se, e somente se,

$d(F,G)>0$ . Solución

13.6. Considerando em

$\mathbb{R}^n$ a norma euclidiana, sejam

$F\subset\mathbb{R}^n$ um conjunto fechdo convexo,

$a$ um ponto de

$\mathbb{R}^n$ e

$y_0\in F$ tal que

$\|{a-y_0}\|=d(a,F)$ . Mostre que, para todo

$x\in F$ tem-se

$\left\langle x-y_0,a-y_0\right\rangle \leq 0$ . Solución

14.3. Seja

$E\subset\mathbb{R}^n$ um subespaço vetorial própio. O complementar

$\mathbb{R}^n- E$ é conexo se, e somente se,

$\dim E\leq n-2$ . Solución

14.4. O conjunto das matrices invertíveis

$n\times n$ é um aberto desconexo en

$\mathbb{R}^{n^2}$ . Tambén é desconexo (mas não aberto) o conjunto das matrizes ortogonais. Solución

14.5. Se

$X\subset\mathbb{R}^n$ e compacto então toda aplica&ccdeil;ão continua aberta

$f\colon X\to S^n$ es sobrejetiva. Solución

14.6. Seja

$X\subset\mathbb{R}^m$ . Uma aplicação

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ diz-se localmente constante quando para cada

$x\in X$ existe uma bola

$B$ de centro

$x$ tal que

$f|_{B\cap X}$ é constante.

$X$ é conexo se, e somente se, toda aplicação localmente constante

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ é constante. Solución

14.7. Toda aplicação contínua

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ cuja imagen

$f(X)$ é um conjunto discreto é localmente constante. Solución

14.8. Toda aplicação localmente constante

$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ tem imagen enumerávei. Solución

14.9. Um conjunto conexo enumerável

$X\subset\mathbb{R}^n$ possui no máximo um ponto. Solución

14.15. Seja

$B$ uma bola fechada na norma euclidiana. Para todo subconjunto

$X\subset\partial B$ ,

$B-X$ é convexo. Numa norma arbitrária,

$B-X$ é conexo mas não necessariamente convexo. Solución

15.3. Dada

$A\in\mathscr{L}(\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^n)$ , supomos fixadas uma norma em

$\mathbb{R}^m$ , outra em

$\mathbb{R}^n$ , e pomos, como no texto,

$\|{A}\|:=\sup\{|Ax|\colon |x| = 1 \}$ . Prove que

$\| A\|=\inf\{c\in\mathbb{R}\colon | Ax | \leq c | x | \}$ . Solución

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