Análisis en la recta.

A continuación iré incluyendo ejercicios resueltos del libro Curso de análise, volume 1, de Elon Lages Lima. La numeración corresponde a la que aparece en la primera edición del 2014

Capítulo 1. Conjuntos e Funções

1. Dados los conjuntos $A$ y $B$, sea $X$ un conjunto con las siguientes propiedades:
  1. $X\supset A$ y $X\supset B$,
  2. Si $Y\supset A$ e $Y\supset B$ entonces $Y\supset X$.
Pruebe que $X= A\cup B$. Solución
2. Enuncie y demuestre un resultado análogo al anterior, caracterizando $A\cap B$. Solución
12. Sea $f\colon A\to B$ una función.
  1. Pruebe que se tiene $f(X-Y)\supset f(X)-f(Y)$, sean cuales fueran los subconjuntos $X$ e $Y$ de $A$;
  2. Muestre que si $f$ es inyectiva entonces $f(X-Y)=f(X)-f(Y)$ para cualesquiera $X$, $Y$ contenidos en $A$.
Solución
13. Una función $f\colon A\to B$ es inyectiva si, y solamente si, $f(A-X)=f(A)-f(X)$ para todo $X\subset A$. Solución
14. Dada una función $f\colon A\to B$, pruebe:
  1. $f^{-1}(f(X))\supset X$ para todo $X\subset A$;
  2. $f$ es inyectiva si, y solamente si, $f^{-1}(f(X))= X$ para todo $X\subset A$.
Solución
15. Dada una función $f\colon A\to B$, pruebe:
  1. Para todo $Z\subset B$, se tiene $f\left(f^{-1}(Z)\right)\subset Z$;
  2. $f$ es sobreyectiva si, y solamente si, $f\left(f^{-1}(Z)\right) = Z$ para todo $Z\subset B$.
Solución
16. Dada una familia de conjuntos $(A_\lambda)_{\lambda\in L}$, sea $X$ un conjunto con las siguientes propiedades:
  1. para todo $\lambda\in L$, se tiene $X\supset A_\lambda$;
  2. Si $Y\supset A_\lambda$ para todo $\lambda\in L$, entonces $Y\supset X$.
Pruebe que en esas condiciones, se tiene $X=\bigcup\limits_{\lambda\in L}A_\lambda$. Solución
17. Enuncie y demuestre un resultado análogo al anterior, caracterizando $\bigcap\limits_{\lambda\in L}A_\lambda$. Solución
18. Sea $f\colon\mathcal{P}(A)\to\mathcal{P}(A)$ una función tal que
  1. $X\subset Y$ $\Rightarrow$ $f(Y)\subset f(X)$,
  2. $f(f(X))=X$.
Pruebe que
  1. $f\left(\bigcup\limits_{\lambda\in L}X_\lambda\right)=\bigcap\limits_{\lambda\in L}f(X_\lambda)$;
  2. $f\left(\bigcap\limits_{\lambda\in L}X_\lambda\right)=\bigcup\limits_{\lambda\in L}f(X_\lambda)$.
Aquí $X$, $Y$ y cada $X_\lambda$ son subconjuntos de $A$. Solución
19. Dadas las familias $\left(A_\lambda\right)_{\lambda\in L}$ y $\left(B_\mu\right)_{\mu\in M}$, forme dos familias con índices en $L\times M$ considerando los conjuntos \begin{equation*} \left(A_\lambda\cup B_\mu\right)_{(\lambda,\mu)\in L\times M} \quad\text{ y } \left(A_\lambda\cap B_\mu\right)_{(\lambda,\mu)\in L\times M}. \end{equation*} Pruebe que se tiene \begin{align*} \left(\bigcup\limits_{\lambda\in L} A_\lambda\right)\cap \left(\bigcup\limits_{\mu\in M} B_\mu\right) &= \bigcup\limits_{\left(\lambda,\mu\right)\in L\times M} \left(A_\lambda\cap B_\mu\right),\\ \left(\bigcap\limits_{\lambda\in L} A_\lambda\right)\cup \left(\bigcap\limits_{\mu\in M} B_\mu\right) &= \bigcap\limits_{\left(\lambda,\mu\right)\in L\times M} \left(A_\lambda\cup B_\mu\right). \end{align*} Solución

Capítulo 2. Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis

1. Solución
2. Solución
3. Solución